株式会社 アイ・アール・エス ~ インジェクタ再生洗浄サービス ~

ガソリン・ディーゼルエンジン用インジェクター再生洗浄サービス

流体力学超入門その2

2013-12-26

こんにちは。アイ・アール・エスのせんむです。

ちょっと手が空いたので、前回ご紹介した、流体力学の基礎についての解説の続きを書こうと思います。

このあと、ベルヌーイの式を書こうと思いますが、それまでは何だか記号遊びのような感じで、実際の現象に結びつきにくくて、いまいち面白味に欠けるかも知れませんが、考え方というか、力学的な着目のしかたが重要だと思うので、インジェクター洗浄の開発・改良と同様に、コツコツ行きます。
ちょっとだけご容赦ください。m(_ _)m

では始めます。上の画像が オイラーの運動方程式(2次元) です。
そして、これも前回同様にワケが判りません。(~o~)

使われている記号の解説を書くと、このようになります。

が、やはり全くワケが判りません。(@_@;)

中学くらいで習う、いわゆる運動方程式はこんな感じですよね。

これとは全然違う形をしてるので理解に苦しむんですが、実は全く同じことを示した式なんです。
今回はその考え方の流れを解説していきます。

その前に、まず基礎のおさらいから。
加速度というのは、速度と違い直感的にピンとこないかも知れないので、簡単な例を書いてみます。

下図のように、時速36キロで動いていた車が、5秒後時速72キロまで加速したとします。
イメージとしては、首都高のETCゲートから合流レーンを走っている感じです。

加速度は、単位時間に変化する速度の量なので、この場合、下図のようになります。

次に、車の質量が1000kgだったとします。

ここで、いわゆる運動方程式では、 質量 x 加速度 = 力 なので、これを当てはめると、車にかかっている力(空気抵抗などを無視すると、エンジンが発生している力)は、下図のようになります。


これで、「あ~、そんな感じだったな。」と、ちょっと思い出してもらえたのではと思います。(*^_^*)

では流体の話に戻ります。
前回と同じく、2次元の流れを考えるので、ペラペラの流れをイメージします。

この中の微小体積が、下図のように動いているとします。
また、動いているのは、微小体積の周りに圧力差があるからだとします。

ここで、微小体積の左右(x方向)にかかる圧力を求めます。
まず、上図のように、微小体積の左端に加わる圧力をPとします

すると、右端にかかる圧力は、前回速度の変化分を求めたときに出てきたおまじないと同じく、偏微分を使って下図のように表されます。

これも、Pがdx離れた場所の変化分を求めて、元のPに足したものです。

次に、これらの圧力によって微小体積が受ける力を求めます。
圧力から受ける力は、 圧力 x 面積 で求まるので簡単なのですが、これも前回と同じく、厚み「1」があるとして考えます。

ちょっとややこしく見えますが、最終的に出てくるものはとてもシンプルです。(^_^)


これで、微小体積が受ける力 が求まりました。

次に、微小体積の質量を求めます。
これは非常に簡単で、流体の密度をρとすると、下図のようになります。

これで、微小体積の質量 が求まりました。

ちなみに言い忘れましたが、ここで求めようとしている運動方程式についても、流体は非圧縮性流体であるという前提です。

最後に、微小体積の加速度を求めます。
これは、最初の車の例とまったく同じ考え方で行きます。

下図のように、ある時点で 速度u の微小体積が、 時間dt 後に 速度u+du になったとすると、その加速度は下図のようになります。


これで、 微小体積の加速度 が求まりました。

これで、 力・質量・加速度 と、いわゆる運動方程式に必要な全てが揃いました。(^0_0^)

そこで、これらを運動方程式として組み立ててみると、下図のようになります。

という感じで、最初のオイラーの運動方程式が求まったということになります。!(^^)!

まとめると、
 ・微小体積にかかる圧力による力を求め、
・微小体積の質量を求め、
・微小体積の加速度を求め、
・それらを、いわゆる運動方程式に組み立てて整理した。
という感じです。

ちなみに、連続の式は質量保存をあらわしていましたが、このオイラーの運動方程式は、慣性力と圧力のバランスをあらわしています。

無理矢理ほかの言葉でいうと、
動かす力(差圧による力)の全部が、動いている力(慣性力)になる。
という感じです。

これが成立しないと、流れの中に 元気玉 のような力が湧き出る空間や、 ドクター・ゲロ(人造人間20号)の手のひら のように、力を吸い取る空間が発生することになるので、普通の人ではたどり着けない領域で何かと大変です。

なお、こういったことを勉強するとき、特に人の名前がついた式に関しては、考えた人のことを知るようにしているんですが、オイラーさんはこんな方だそうです。

時勢も手伝ってとても苦労されたようですが、250年以上経った現在も、世界中の理系学生が習うような式を導くって、本当にすごい業績だと思います。

また、後で出てくるベルヌーイさん(と、そのお父さん)とも交流があったようですが、現在あらゆる分野で使われる流体力学の祖となった人たちは、一体どんな会話してたんでしょうね。想像するとわくわくします。(*^。^*)

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